정재희는 과거 영등포공고-상지대를 거쳐 FC안양에 입단했다. 상지대 1학년 시절 U리그 개막전 데뷔전에서 데뷔골을 넣으며 U-리그 권역별 우승을 달성하는 등 대학시절 두각을 나타냈다. 위협적인 모습을 보인 결과 상지대 3학년 재학 중 안양 유니폼을 입었다.
정재희는 프로 첫 시즌 36경기 3득점 1도움을 달성, 안양의 주전 공격수로 자리매김 했다. 그는 안양에서 3년간(2016~2018) 101경기 12득점 7도움을 달성했다. 지난 2017년에는 시즌 시작과 동시에 4경기 연속 골 2018년도에는 부주장으로 선임돼 안양 최초로 K리그 통산 100경기 출전을 달성하기도 했다.
이후 정재희는 2019년 전남 드래곤즈로 이적했다. 전남에서 2년 동안 K리그2 32경기 출전 5득점 10도움을 기록했다. 당해 10도움으로 K리그2 도움왕을 차지했다. 2021년에는 전남 소속으로 FA컵(현 코리아컵) 결승전에 출전, 우승에 결정적 역할 및 최우수선수(MVP)에 선정되기도 했다.
지난 2022년 포항 스틸러스로 이적해 3년간(2022~2024) 80경기 17득점 6도움을 달성했다. 라운드 MVP 3회 수상과 2024년 프로 데뷔 첫 해트트릭을 달성했다. 이어 2년 연속 팀의 코리아컵 우승에 기여했다. 지난해 대회에선 코리아컵 역사상 5번째 대회 MVP와 득점왕을 모두 수상한 선수가 됐다.
대전은 “빠른 스피드를 활용한 돌파/침투 능력과 뛰어난 득점력을 장착한 정재희 영입을 통해 측면 강화와 득점력 향상 두 마리 토끼를 잡을 수 있을 것”이라고 기대했다.
정재희는 구단을 통해 “대전하나시티즌에 입단하게 되어 너무 기쁘다. 동계 전지훈련 기간 열심히 훈련해서, 경기장에서 좋은 모습 보이도록 하겠다. 팬 여러분들도 경기장에 많이 찾아와 응원해 주셨으면 좋겠다”라고 밝혔다.